233,евклид

История развития геометрии

Самые первые понятия в геометрии люди приобрели еще в глубокой древности. Возникала необходимость определять площади участков земли, объемы различных сосудов и помещений и другие практические потребности. Свое начало история развития геометрии, как науки, берет в Древнем Египте около 4 тысяч лет назад. Затем знания египтян позаимствовали древние греки, которые применяли их преимущественно для того, чтобы измерять площади земельных участков.  Именно с Древней Греции берет свое начало история возникновения геометрии, как науки. Древнегреческое слово «геометрия» переводится, как «землемерие».

Греческие ученые  на основе открытия множества геометрических свойств смогли создать стройную систему знаний по геометрии. В основу геометрической науки были положены простейшие геометрические свойства, взятые из опыта. Остальные положения науки выводились из простейших геометрических свойств с помощью рассуждений. Вся эта система была опубликована в завершенном виде в «Началах» Евклида около 300 года до нашей эры, где он изложил не только теоретическую геометрию, но и основы теоретической арифметики. С этого источника также начинается и история развития математики.

Однако в труде Евклида ничего не сказано ни об измерении объема, ни о поверхности шара, ни об отношении длины круга к его диаметру (хотя присутствует теорема о площади круга). История развития геометрии получила продолжение в середине III века до нашей эры благодаря великому Архимеду, который смог вычислит число Пи, а также смог определить способы вычисления поверхности шара. Архимед для решения упомянутых задач применил методы, которые в дальнейшем легли в основу методов высшей математики. С их помощью он уже мог решать трудные практические задачи геометрии и механики, которые были важны для мореплавания и для строительного дела. В частности, он нашел способы определять центры тяжести и объемы многих физических тел и смог изучить вопросы равновесия тел различной формы при погружении в жидкость.

Древнегреческие ученые провели исследования свойств различных геометрических линий, важных для теории науки и практических применений. Аполлоний во II веке до нашей эры сделал много важных открытии по теории конических сечений, которые оставались непревзойденными на протяжении следующих восемнадцати веков. Апполоний применил метод координат для изучения конических сечений. Этот метод в дальнейшем смогли развить только в XVII веке ученые Ферма и Декарт. Но они применяли этот метод только для изучения плоских линий. И только в 1748 году русский академик Эйлер смог применить этот метод для изучения кривых поверхностей.

Система, разработанная Евклидом, считалась непреложной более двух тысяч лет. Однако в дальнейшем история развития геометрии получила неожиданный поворот, когда в 1826 году гениальный русский математик Н.И. Лобачевский смог создать совершенно новую геометрическую систему. Фактически основные положения его системы отличаются от положений геометрии Евклида только в одном пункте, но именно из этого пункта вытекают основные особенности системы Лобачевского. Это положение о том, что сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше 180 градусов. На первый взгляд может показаться, что это утверждение неверно, однако при маленьких размерах треугольников современные средства измерения не дают правильно измерить сумму его углов.

Дальнейшая история развития геометрии доказала правильность гениальных идей Лобачевского и показала, что система Евклида просто неспособна решить многие вопросы астрономии и физики, где математики имеют дело с фигурами практически бесконечных размеров. Именно с трудами Лобачевского уже связано дальнейшее развитие геометрии, а с ней и высшей математики и астрономии.

Средневековье и Возрождение

Сохранение древних произведений и латинские переводы греческих или арабских произведений являются основным вкладом западного средневековья в геометрию.

В целом средневековье в Западной Европе для геометрии, как и для многих других наук, было периодом упадка.

Геометрию, конечно, все еще преподают. Это часть квадривиума, который также включает арифметику , астрономию и музыку . Однако квадривиум гораздо менее популярен, чем тривиум ( грамматика , риторика и диалектика ): последний, вероятно, лучше подходит для общества, основным проектом которого является подготовка к пост-земной жизни.

В течение длительного периода , который тянется примерно с V — го  века XV — го  века ученые геодезистов редкость на Западе. Мы можем упомянуть Гербера д’Орийака, который стал папой под именем Сильвестра II, и особенно Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи; они по-прежнему более известны своей арифметической работой и страстью, с которой они переводили работы арабских ученых …

Возрождение к XV — го  века и XVI — го  века увидел первый тремор геометрической новости с появлением конической точки зрения которого теория подвергается нападению ряда ученых, в основном итальянцы, и самый известный, вероятно , Piero Франческа , Леонардо да Винчи , и Лука Пачоли , первые двое были обязаны своей славой больше своему художественному гению, чем математике.

Научная деятельность и открытия

Вся жизнь ученого прошла в александрийских стенах, поэтому и его научная деятельность с открытиями состоялась здесь. Образование он получил от платоновских учеников, поэтому от них же и перенял взгляды, которые и помогли ему сформировать свой класс математики и стать преподавателем.

Предшественниками Евклида были знаменитые математики Фалес с Пифагором и Аристотелем, которые сделали фундаментальные открытия в области тригонометрической науки. Но это были разрозненные части и не представляли собой одну большую логически выстроенную цепочку.

Как и современники, математик и его ученики любили систематичные и логичные знания. Именно поэтому всю свою научную деятельность Евклид бросил на систематизацию ранее полученных знаний и их дополнение. В каждой из своих книг «Начал» он дает основные понятия, использованные учеными ранее, а затем вводит основные аксиомы и постулаты геометрии, которые упростили работу его потомкам.

Так, с первой по четвертую книгу даются понятия и постулаты из трудов Пифагора и его последователей, в пятой книге — учение о пропорциях, с шестой по девятую книгу — знание о числах, а в последних — публикации о площадях с плоскостями и пространствами (основы стереометрии), иррациональности, учении о правильных телах.

Интересно, что публикация автора дала возможность писать последующие научные работы в области математики и получать новые знания о ней.

Свои открытия ученый сделал в той же области. Он ввел понятие точки, прямой, плоскости и движения, разработал постулаты для создания определенных геометрических фигур в любой области, понятие о свете, зеркалах, преломлении световых лучей, ввел элементарную теорию музыки, создал труд касательно использования геометрии при изучении астрономии и ошибках, которые возникают при формировании геометрических доказательств.

Кроме того, математик сделал небольшие открытия в области механики и дал понятие удельному весу тел.

Комбинации простейших объектов

Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).
 

Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.

Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.

Две прямые образуют углы. По сути, угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.
 

Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.

Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.

Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:

• Если градусная мера угла меньше 90° — угол острый.
• Если градусная мера угла равна 90° — угол прямой.
• Если градусная мера угла больше 90°, но меньше 180° — угол тупой.
• Если градусная мера угла равна 180° — угол развернутый.

Точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.

Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.

Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.

А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.

Первый случай: все три прямые параллельны.

Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.

Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.

«Начала» Евклида

Ватиканский манускрипт, т.1, 38v — 39r. Euclid I prop. 47 (теорема Пифагора)

Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

Евклид открывает врата Сада Математики. Иллюстрация из трактата Никколо Тартальи «Новая наука»

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строятся чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

Тексты и переводы

Старые русские переводы

• Эвклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранные и в осмь книг чрез профессора мафематики А. Фархварсона сокращённые. / Пер. с лат. И. Сатарова. СПб., 1739. 284 стр.
• Елементы геометрии, то есть первые основания науки о измерении протяжении, состоящие из осьми Евклидовых книг. / Пер. с франц. Н. Курганова. СПб., 1769. 288 стр.
• Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: 1-я, 2-я, 3-я, 4-я, 5-я, 6-я, 11-я и 12-я. / Пер. с греч. СПб., 1784

  2-е изд. … к сим прилагаются книги 13-я и 14-я. 1789. 424 стр.

  . 370 стр.

• Эвклидовых начал три книги, а именно: 7-я, 8-я и 9-я, содержащие общую теорию чисел древних геометров. / Пер. Ф. Петрушевского. СПб., 1835. 160 стр.
• Восемь книг геометрии Эвклида. / Пер. с нем. воспитанниками реального училища… Кременчуг, 1877. 172 стр.
• Начала Евклида. / С введ. и толкованиями М. Е. Ващенко-Захарченко. Киев, 1880. XVI, 749 стр.

Средневековые армянские переводы

В XI веке Григор Магистрос перевел с греческого на армянский «Начала» Евклида. Более обширный перевод Евклида сделан в позднем средневековье и приписывается автору XVII века Григору Кесараци.

Современные издания сочинений Евклида

Начала Евклида. Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. В 3 т. (Серия «Классики естествознания»). М.: ГТТИ, 1948-50. 6000 экз.

• Евклидов корпус. Деление канона. Перевод А. Щетникова. ΣΧΟΛΗ, 6, 2012, c. 98-110.
• Евклид. Оптика. Перевод А. Щетникова. ΣΧΟΛΗ, 13, 2019, c. 771—822.
• Euclidus Opera Omnia. Ed. I. L. Heiberg & H. Menge. 9 vols. Leipzig: Teubner, 1883—1916.

• Euclide. Les éléments. 4 vols. Trad. et comm. B. Vitrac; intr. M. Caveing. P.: Presses universitaires de France, 1990—2001.
• Barbera A. The Euclidian Division of the Canon: Greek and Latin Sources // Greek and Latin Music Theory. Vol. 8. Lincoln: University of Nebraska Press, 1991.

Вклад арабов и персов

Учитель Аристотеля.

Вклад арабской и персидской цивилизаций средневековья в развитие геометрии был весьма значительным.

В дополнение к переводу древних текстов, благодаря которому Европа вновь обретет знания о греческом наследии, арабские математики, соблюдающие прагматическую традицию, разработали тригонометрию. Введение тригонометрических функций приписывается Насир ад-Дину ат-Туси , персидскому математику из Хорасана.

Аль-Каши , другой персидский математик, обобщает теорему Пифагора (см. Теорему Аль-Каши ).

Демонстрация 5- й  аксиомы и задач дублирования куба на трисекцию углов и квадратуру круга увлечет персидских и арабских ученых так же, как и древних.

Это приведет к поиску формулировок, эквивалентных аксиоме Евклида ( Табит ибн Курра ), к получению превосходных приближений π (Аль Каши) или к разработке геометрических методов решения алгебраических уравнений и т. Д.

Архитектура и геометрия

Геометрические принципы внедрены во все проекты архитектурных сооружений. Неоспорима решающая роль геометрии при строительстве любых зданий.

Строительное проектирование всегда производится с учетом пространственных форм, влияющих на зрительное восприятие и относящихся к важнейшим характеристикам любого здания.

Геометрический вид, являющийся важным свойством сооружения и определяемый трехмерными размерами (ширина, глубина, высота), зависим от их соотношения. При равных размерах – форма архитектурного сооружения выглядит объемной, при одном из размеров значительно меньшем, чем два остальных – сооружение выглядит плоским, а в случае, когда два размера намного менее одного, сооружение приобретает линейный вид.

Архитектурные свойства определяются протяженностью по трем координатным осям и характеризуются размерами по высоте, ширине и глубине относительно размеров человека или смежных строений.

Планарные алгебры

В аналитической геометрии плоскость описывается декартовыми координатами  : С = {( х, у ): х , у ∈ ℝ}. Эти точки иногда идентифицированы с комплексными числами г = х + у е , где ε 2 ∈ {-1, 0, 1}.

Евклидова плоскость соответствует случаю ε 2 = −1, поскольку модуль z определяется выражением

zz*знак равно(Икс+уϵ)(Икс-уϵ)знак равноИкс2+у2{\ displaystyle zz ^ {\ ast} = (x + y \ epsilon) (xy \ epsilon) = x ^ {2} + y ^ {2}}

и эта величина является квадратом евклидова расстояния между z и началом координат. Например, { z | zz * = 1} — единичный круг .

Для плоской алгебры неевклидова геометрия возникает в других случаях. Когда ε 2 = +1 , тогда z является комплексным числом с разбиением и обычно j заменяет эпсилон. потом

zz*знак равно(Икс+уj)(Икс-уj)знак равноИкс2-у2{\ displaystyle zz ^ {\ ast} = (x + y \ mathbf {j}) (xy \ mathbf {j}) = x ^ {2} -y ^ {2} \!}

и { z | zz * = 1} — единичная гипербола .

Когда ε 2 = 0 , то z — двойственное число .

Такой подход к неевклидовой геометрии объясняет неевклидовы углы: параметры наклона в плоскости двойных чисел и гиперболический угол в плоскости расщепленного комплекса соответствуют углу в евклидовой геометрии. В самом деле, каждое из них возникает в комплексного числа z .

Краткая биография

Биография Евклида до конца не изучена, к примеру, до сих пор неизвестен год рождения. Известно, что он появился на свет в небольшом районе Афин и был платоновским учеником.

Подъем его научной работы пришелся на правление Птолемея Первого. Некоторые сведения о его жизни можно проследить по арабским рукописям и архимедовым письмам к друзьям. Так, по ним можно определить, что Евклид был сыном греческого ученого и жил около Тира в Сирии.

С малых лет получал знания о мире от своего отца, он же привил сыну любовь к естественным наукам, а затем Евклид поступил в школу Платона, где и обучился математическим основам.

Повзрослев, его пригласили в храм Мусейон (по другим данным он был одним из его основателей), в котором собирались видные ученые с поэтами. Тут были классы для занятий. Также храм был заполнен садами с башнями астрономии, помещениями для одиноких размышлений и большой библиотекой.

В Мусейоне он смог открыть школу с лучшими математиками и монументальный труд в области математики, в котором заложил планиметрические основы со стереометрией, теорией чисел, законами алгебры, методами нахождения площадей с объемами и др.

Фрагмент папируса с текстом «Начал» Евклида

Монументальный труд — публикация «Начала». Это серия из 13 книг, представляющая собой обработанные публикации древнегреческих математиков с пятого по четвертый век до нашей эры.

Кроме «Начал», было создано еще одно сочинение — «Данные», в котором были опубликованы основы по геометрическому анализу. Кроме того, александрийский ученый создал учебник, с помощью которого в то время и сейчас изучают астрономию, перспективу, отражение в зеркале, музыкальные интервалы и решают тригонометрические задачи.

Все оставшиеся годы жизни посвятил изучению естественных наук и математических законов, отчего его называют отцом геометрии. О других аспектах его жизни неизвестно до сих пор. Умер в Александрии.

Это интересно: 231,ДУХОВНАЯ КУЛЬТУРА — разбираемся внимательно

Четырехугольники

Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.

Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.

Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:

• площадь фигуры
• периметр фигуры
• площадь прямоугольника
• периметр прямоугольника
• площадь квадрата
• периметр квадрата
• параллелограмм
• прямоугольный параллелепипед.

Евклид

К IVIII векам до нашей эры геометрия вполне оформилась как наука. Были устоявшиеся традиции, детально разработанные методы решения задач, крупные достижения, было уже несколько учебников и различные научные школы.

Рассказать обо всех геометрах доевклидового периода а список математиков того времени включает несколько десятков славных имён и об их работах, естественно, невозможно. И поскольку у нас не многотомный исторический труд, а небольшая статья, оставим предтеч и перейдём непосредственно к Евклиду.

Жил и работал он во время весьма любопытное.

В 323 году до нашей эры то ли вследствие острой лихорадки, то ли в результате неумеренного пьянства или просто от доброй порции яда отправился на свидание к отцу своему Зевсу царь царей земных, изрядно уже потрёпанный жизнью, хотя сравнительно молодой, тридцатитрёхлетний мужчина Александр Македонский.

Полубога подобающим образом проводили и перешли к текущим делам. А дел хватало: надо было делить империю. Размеры её были невероятны. Всего лишь за десять лет оказались завоёванными страны, в сотни раз превосходившие маленькую полунищую Македонию.

Границы известного мира расширились во много раз, и теперь предстояло переварить проглоченное. Было ясно, что для одного такое наследство непомерно, и отдавать всё малолетнему брату Александра или же второму наследнику сыну, появившемуся на свет через несколько месяцев после смерти отца, было просто смешно. Посему империю полюбовно растащили те полководцы, которых Александр не успел казнить. Они поклялись в вечной дружбе, заключили вечный мир, порядком выпили на радостях, обменялись суровыми мужскими пожатиями на прощанье и, естественно, началась междоусобная резня.

Более других в этой сваре повезло осмотрительному Птолемею, который при делёжке отхватил себе Египет. Наследники его постепенно ассимилировались, а династия оказалась не только самой прочной и долговечной, но и прославилась тем, что дала истории Клеопатру.

И самый первый Птолемей, и все последующие Птолемеи славны тем, что были покровителями наук. Какие у них на то были мотивы, трудно сейчас разобраться, но факты таковы: в IIIII веках до нашей эры Александрия превратилась в основной научный центр эллинистического мира. И наиглавнейшим научным институтом был знаменитый Александрийский музей с Александрийской библиотекой. Сюда-то и пригласил Птолемей Евклида, и именно здесь Евклид написал «Начала» книгу, в истории человечества бесспорно уникальную.

Снова я должен сделать традиционное уже признание: о самом Евклиде практически ничего не известно.

Легенды, конечно же, имеются. Рассказывают, например, что Птолемей поначалу сам захотел одолеть премудрости геометрии, но довольно скоро обнаружил, что изучение математики требует некоторых усилий. Тогда он призвал Евклида и вопросил его, полагаю, как джентльмен джентльмена, нельзя ли постигнуть все тайны науки как-нибудь попроще? На что Евклид ответил: «В геометрии нет царского пути». Остаётся неведомым, продолжал ли после этого царь занятия математикой (вероятнее всего, он утешился в занятиях, более приличествующих царям, таких, как приёмы, охота, пиры, услады гарема, наконец).

Рассказывают также, что однажды к Евклиду явился изучать геометрию некий молодой прагматик. Первый вопрос, который он задал будущему учителю, был следующий: какая практическая польза будет от штудирования «Начал»? Тогда Евклид, весьма и весьма задетый, призвал раба и сказал: «Дай ему обол (грош), он ищет выгоды, а не знаний».

Надо, впрочем, сознаться, что обе истории столь традиционны, учитывая представление древних греков о мудрецах и о математике, что особо доверять им не приходится. «Точные» же биографические данные основываются на заметках неизвестного арабского математика XII века: «Евклид, сын Наукрата, сына Зенарха, известный под именем Геометра, учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира…»

Всё.

Человек бесследно растворился в веках. Осталась его работа.

Неевклидова геометрия

В геометрии Евклида имеется аксиома о параллельных, утверждающая: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной. Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок геометрии Евклида, но безуспешно. Лобачевский пришёл к мысли, что такое доказательство невозможно. Утверждение, противоположное аксиоме Евклида, гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые. Это и есть аксиома Лобачевского. По мысли Лобачевского, присоединение этого положения к другим основным положениям геометрии приводит к логически безупречным выводам. Система этих выводов и образует новую, неевклидову геометрию.
Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал эту идею, но действительно построил и всесторонне развил новую геометрию, логически столь же совершенную и богатую выводами, как евклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям.
Геометрия превратилась в разветвлённую и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность математических теорий, изучающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, римановы и т. д.) и фигуры в этих пространствах.